Question

【題目】如圖，梯形中，，，，、分別是，的中點，現(xiàn)將沿翻折到位置，使

（1）證明：面；

（2）求二面角的平面角的正切值；

（3）求與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）通過折疊關系得，計算并證明，即可得證線面垂直；

（2）結合已證結論以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，分別通過平面和平面的法向量求出其余弦值，再求出正弦值；

（3）計算出平面的法向量與的方向向量的夾角余弦值的絕對值即可.

（1）梯形中，，，，、分別是，的中點，

，四邊形為平行四邊形，，，，

所以四邊形為正方形，，折疊后，，

，，在三角形中，，

所以，

是平面內兩條相交直線，

所以面；

（2）兩兩互相垂直，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則

，設平面的法向量為

則，解得，令，取

由（1）可知，面，取平面的法向量

，

根據(jù)圖形，二面角的平面角的余弦值為

所以二面角的平面角的正切值為；

（3），由（2）可得平面的法向量

設直線與平面所成的角為，

.

所以與平面所成的角的正弦值.