Question

已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，過點F的直線l與C相交于兩點A、B.
(1)若|AB|=，求直線l的方程；
(2)求|AB|的最小值.

Answer 1

(1)直線l的方程為x±y-1=0.
(2) |AB|有最小值4.

（1）設l的方程為x+My-1=0,代入y²=4x,
∴y²+4My-4=0.
設A（x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則y₁+y₂=-4M.
根據(jù)拋物線定義，
|AB|=x₁+x₂+P=x₁+x₂+2=(1-My₁)+(1-My₂)+2
=4(M²+1).
若|AB|=，則4（m²+1)= ,m=±,
即直線l的方程為x±y-1=0.
(2)由（1）知|AB|=4（m²+1)≥4,當且僅當m=0時，|AB|有最小值4.