Question

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3，-

3

2

)，傾斜角為α的直線與圓x²+y²=25相交于BC兩點(diǎn)
（1）求弦BC的長(zhǎng)
（2）當(dāng)A恰為BC的中點(diǎn)時(shí)，求直線BC的方程
（3）當(dāng)|BC|=8時(shí)，求直線BC的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A坐標(biāo)與傾斜角表示出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，根據(jù)垂徑定理，勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)；
（2）若A為BC中點(diǎn)，得出A垂直于BC，求出直線OA的斜率，確定出直線的斜率，即可確定出BC方程；
（3）由（1）表示出的弦長(zhǎng)列出方程求出方程的解得到tanα的值，即可確定出BC方程．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：直線方程為y+

3

2

=k（x+3），其中k=tanα，即2kx-2y+6k-3=0，
∵圓心到直線的距離d=

|6k-3|

4k2+4

，r=5，
∴|BC|=2

r2-d2

=

64k2+36k+91 k2+1

；
（2）當(dāng)A為BC中點(diǎn)時(shí)，OA⊥BC，
∵直線OA的斜率為

- 3 2

-3

=

1

2

，
∴直線BC斜率為-2，即直線BC方程為4x+2y+15=0；
（3）當(dāng)|BC|=8，即

64k2+36k+91 k2+1

=8，
解得：k=-

3

4

，
則直線BC方程為3x+4y+15=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，直線的點(diǎn)斜式方程，垂徑定理，勾股定理，以及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．