Question

過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）準(zhǔn)線上一點(diǎn)Q作拋物線的切線，分別切于A，B兩點(diǎn)，則△ABQ的面積的最小值為（　�。�

• A．2p²
• B．4p²
• C．

  p2

  2

• D．p²

Answer 1

分析：首先證明過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）準(zhǔn)線上一點(diǎn)Q作拋物線的兩切線相互垂直，再證出過(guò)拋物線兩垂直切線切點(diǎn)的連線恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，進(jìn)一步利用拋物線的性質(zhì)與弦長(zhǎng)公式把△ABQ的面積表示為弦AB傾斜角的函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域求解△ABQ的面積的最小值．

解答：解：如圖，設(shè)Q（-

p

2

，y0），過(guò)點(diǎn)Q與拋物線相切的直線方程為y-y0=k(x+

p

2

)（k≠0）．
聯(lián)立

y-y0=k(x+ p 2 ) y2=2px

，得ky2-2py+2py0+kp2=0．
由△=(-2p)2-4k(2py0+kp2)=0．
得pk²+2y₀k-p=0．
由根與系數(shù)關(guān)系可得：k₁k₂=-1．
∴過(guò)Q點(diǎn)的拋物線的兩條切線垂直．
再設(shè)A(

y12

2p

，y1)，B(

y22

2p

，y2)，則kAB=

y2-y1

y22 2p - y12 2p

=

2p

y2+y1

．
∴過(guò)A，B的直線方程為y-y1=

2p

y2+y1

(x-

y12

2p

)．
不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0．
由y=

2px

，得y′=

2

2

•

p x

，∴y′|x=x1=

p

y1

．
由y=-

2px

，得y′=-

2

2

•

p x

，∴y′|x=x2=

p

y2

．
由

p

y1

•

p

y2

=-1，得y1y2=-p2．
滿足焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)的結(jié)論．
∴直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F．
設(shè)直線AB與x軸的夾角為θ，由拋物線的性質(zhì)可得：|AB|=

2p

sin2θ

．
且切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)的連線平行于坐標(biāo)軸，設(shè)AB中點(diǎn)為M，
則|QM|=

1

2

|AB|=

p

sin2θ

．
Q到AB的距離為|QM|sinθ=

p

sin2θ

sinθ=

p

sinθ

．
∴S△ABQ=

1

2

|AB|•

p

sinθ

=

p2

sin3θ

．
當(dāng)sinθ=1時(shí)，△ABQ的面積有最小值，最小值為p²．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，重點(diǎn)考查了拋物線的性質(zhì)，該題涉及拋物線較多的性質(zhì)，拋物線的性質(zhì)較多，且推導(dǎo)過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，學(xué)生應(yīng)該把這些性質(zhì)作為結(jié)論性的東西加以記憶，該題是有一定難度的題目．