Question

已知f(x)=

1

x-1

，x∈[2，6]
（1）證明：f（x）是定義域上的減函數(shù)；   （2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用單調(diào)性的定義，取值，作差，變形，定號(hào)，即可證得；
（2）由（1）函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最大值和最小值．

解答：（1）證明：設(shè)2≤x₁＜x₂≤6，則f(x1)-f(x2)=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

因?yàn)閤₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以f（x）是定義域上的減函數(shù)（5分）
（2）解：由（1）的結(jié)論可得，fmin(x)=f(6)=

1

5

，fmax(x)=f(2)=1
∴f（x）的最大值為1，最小值為

1

5

（5分）

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性．