Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）令，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是3？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由；

（3）當(dāng)時(shí)，證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，（3）見解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)可得,則可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,即在上恒成立,設(shè),求得,即可求解；

（2）先對求導(dǎo),再分別討論,,時(shí)的情況,由最小值為3,進(jìn)而求解；

（3）令,結(jié)合（2）中知的最小值為3.再令并求導(dǎo),再由導(dǎo)函數(shù)在大于等于0可判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而可求得最大值也為3,即有成,，即成立,即可得證.

（1）解:在上恒成立,

即在上恒成立,

所以在上恒成立,

設(shè),則在上單調(diào)遞減,所以

所以

（2）解:存在,

假設(shè)存在實(shí)數(shù),使有最小值3,

①當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,

所以,解得（舍去）；

②當(dāng)時(shí),當(dāng),則；當(dāng),則,

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

∴,解得,滿足條件；

③當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,

所以,解得（舍去）,

綜上,存在實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí)有最小值3.

（3）證明:令,由（2）知,,

令,則,

當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增,

∴

∴,

即．