Question

【題目】已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

Answer 1

【答案】【解答】
證明：假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
（即任何一條拋物線與x軸沒(méi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)），
由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b得△1=（2b）2﹣4ac≤0，
△2=（2c）2﹣4ab≤0，
△3=（2a）2﹣4bc≤0．
同向不等式求和得，
4b2+4c2+4a2﹣4ac﹣4ab﹣4bc≤0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac≤0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0，
∴a=b=c，這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾，
因此假設(shè)不成立，從而命題得證．
【解析】本題主要考查了反證法的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是本題是一個(gè)至少性問(wèn)題，可以利用反證法證明，其步驟為：①否定命題的結(jié)論，即假設(shè)“任何一條拋物線與x軸沒(méi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”成立→②根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可以得到三個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的△≤0均成立→③利用不等式的性質(zhì)，同向不等式求和→④得到的式子與實(shí)數(shù)的性質(zhì)相矛盾→⑤故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立．