Question

在直二面角 α-AB-β 的棱 AB 上取一點 P，過 P 分別在 α、β 兩個平面內(nèi)作與棱成 45° 的斜線 PC、PD，那么∠CPD的大小為（　�。�

A．45°

B．60°

C．120°

D．60° 或 120°

Answer 1

分析：在一個直二面角內(nèi)，由棱 AB 上取一點 P，過 P 分別在 α、β 兩個平面內(nèi)作與棱成 45°的斜線 PC、PD有兩種作法，即當(dāng)PC與PD同向和異向兩種情況，在兩條斜線上分別取點C和點D，借助于二面角是直二面角，構(gòu)造直角三角形找邊的關(guān)系，把要求解的角也放在一個三角形中，然后利用解三角形求解∠CPD的大小．

解答：解：如圖，
當(dāng)兩斜線PC，PD同向時，在PC上取點C，過C作CG⊥AB于G，
在平面β內(nèi)過G作GD⊥AB，交PD于D，連結(jié)CD．
∵二面角α-AB-β為直二面角，∴CG⊥β，則CG⊥GD．
在Rt△CGP中，∵∠CPG=45°，設(shè)CG=a，則PG=a，∴PC=

2

a．
在Rt△DGP中，∵∠DPG=45°，∴DG=PG=a，則PD=

2

a．
在Rt△DGC中，∵CG=DG=a，∴CD=

2

a．
∴△PCD是等邊三角形，∴PC和PD所成角為60°；
如圖，
當(dāng)兩斜線PC，PD異向時，在PC上取點C，過C作CG⊥AB于G，
在PD上取點D，使PD=

2

CG，連結(jié)CD，
∵二面角α-AB-β為直二面角，∴CG⊥β，則CG⊥GD．
設(shè)CG=a，在Rt△CGP中，∵∠CPG=45°，∴PG=a，則PC=

2

a，
PD=

2

CG=

2

a，∵∠BPD=45°，∴∠DPG=135°．
在△DPG中，GD²=PG²+PD²-2PG•PDcos135°
=a2+2a2-2•a•

2

a•(-

2

2

)=5a²．
∴CD²=CG²+GD²=a²+5a²=6a²．
在△DPC中，cos∠DPC=

PD2+PC2-CD2

2PC•PD

=

2a2+2a2-6a2

2• 2 a• 2 a

=-

1

2

．
∴∠DPC=120°．
∴PC和PD所成角為120°．
所以∠CPD的大小為60°或120°．
故選D．

點評：本題考查了空間兩條直線所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．