Question

已知，動(dòng)點(diǎn)滿足.

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)為曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，曲線在處的切線與軸分別交于點(diǎn)，求面積的最小值.

Answer 1

（1）（2）（3）2

解析:

（Ⅰ）動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為   ；   ………………………………3分

（Ⅱ）解法1  當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，,，不合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)過的直線：，代入曲線的方程得

設(shè)，則

，        解得

故所求的直線的方程為；…………………………………9分

解法2  當(dāng)直線為軸時(shí)， ， 不合題意；

當(dāng)直線不為軸時(shí)，設(shè)過的直線：，代入曲線的方程得

設(shè)，則

  =     解得

故所求的直線的方程為；…………………………………9分

（Ⅲ）設(shè)由得

處曲線的切線方程為 

令得 ；   令得 .

由  ，  

  得.

故面積的最小值為2.…………………………………………14分