Question

【題目】設(shè)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，.

（1）若，求的解析式；

（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若的值域為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

(1)根據(jù)求出參數(shù)，利用奇函數(shù)的定義可求出當(dāng)時函數(shù)的解析式，由是上的奇函數(shù)可知，即可寫出函數(shù)解析式；（2）由可知當(dāng)時，，即可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)在對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致可知在上單調(diào)遞增, 利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性將符號脫掉，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即可求解；（3）首先使對都有意義，由奇函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，要使的值域為，則當(dāng)時，使在第一象限及的正半軸上都有圖象，列出相應(yīng)不等式即可.

（1）因為，則，所以.

所以當(dāng)時，，又，故

.

（2）若，則在上單調(diào)遞增，故等價于

，令，

于是在恒成立，

設(shè)，

①當(dāng)時，則，于是，

②當(dāng)時，則，得，

綜上，.

（3）設(shè)，

首先對恒成立，

可得對恒成立，

故.

由題意知，若函數(shù)的值域為，

只需在上有解，即有解，

故有，

所以：.