Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意，函數(shù)的圖像不在軸上方，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分當(dāng)時和當(dāng)時，討論導(dǎo)函數(shù)的正負，進而得到單調(diào)區(qū)間；（2）原式子等價于對任意，都有恒成立，即在上，按照第一問分的情況，繼續(xù)討論導(dǎo)函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調(diào)性，進而得到函數(shù)的最值，得到結(jié)果.

（1）函數(shù)的定義域為，

.

當(dāng)時，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

當(dāng)時，由，得或（舍去），

則由，得，由，得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）對任意，函數(shù)的圖像不在軸上方，等價于對任意，都有恒成立，即在上.

由（1）知，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，

又，不合題意；

當(dāng)時，在處取得極大值也是最大值，

所以.

令，所以.

在上，，是減函數(shù).

又，所以要使得，須，即.

故的取值范圍為.