Question

如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交BC于點(diǎn)E，AB=2AC，
（1）求證：BE=2AD；
（2）求函數(shù)AC=1，EC=2時(shí)，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接DE，因?yàn)锳CED是圓的內(nèi)接四邊形，所以△BDE∽△BCA，由此能夠證明BE=2AD．
（2）由條件得AB=2AC=2，根據(jù)割線定理得BD•BA=BE•BC，即（AB-AD）•BA=2AD•（2AD+CE），由此能求出AD．

解答：（1）證明：連接DE，
∵ACED是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠BDE=∠BCA，
∵∠DBE=∠CBA，
∴△BDE∽△BCA，
∴

BE

BA

=

DE

CA

，
∵AB=2AC，
∴BE=2DE．
∵CD是∠ACB的平分線，
∴AD=DE，
從而BE=2AD．（5分）
（2）解：由條件得AB=2AC=2，
設(shè)AD=t，根據(jù)割線定理得
BD•BA=BE•BC，
∴（AB-AD）•BA=2AD•（2AD+CE），
∴（2-t）×2=2t（2t+2），
∴2t²+3t-2=0，
解得t=

1

2

，即AD=

1

2

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的比例線段的應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和切割線定理的合理運(yùn)用．