Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：存在實(shí)數(shù)使.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)題意可得處的切線的斜率為2，從而求得a（2）對于存在問題可根據(jù)題意賦值驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，顯然有，即存在實(shí)數(shù)使；當(dāng)時(shí)分析函數(shù)單調(diào)性，得函數(shù)最小值，若最小值小于1即得證

試題解析：

（Ⅰ），

因?yàn)榍�線在處的切線與直線垂直，

所以切線的斜率為2，

所以，

所以.

（Ⅱ）法1：當(dāng)時(shí)，顯然有，即存在實(shí)數(shù)使；

當(dāng)時(shí)，由可得，

所以在時(shí)， ，所以函數(shù)在上遞減；

時(shí)， ，所以函數(shù)在上遞增

所以 是的極小值.

由函數(shù)可得，

由可得，

所以，

綜上，若，存在實(shí)數(shù)使.

（Ⅱ）法2：當(dāng)時(shí)，顯然有，即存在實(shí)數(shù)使；

當(dāng)時(shí)，由可得，

所以在時(shí)， ，所以函數(shù)在上遞減；

時(shí)， ，所以函數(shù)在上遞增.

所以 是的極小值.

設(shè)，則,令，得

	+	0	-
	↗	極大值	↘

所以當(dāng)時(shí)，

所以，

綜上，若，存在實(shí)數(shù)使.