Question

已知向量

m

=( 2cos2x ， 

3

 )，

n

=( 1 ， sin2x )，函數(shù)f(x)=

m

•

n

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且f（C），c=1，ab=2

3

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期及當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域；
（2）先求得C，再利用余弦定理，結(jié)合ab=2

3

，且a＞b，即可求得a，b的值．

解答：解：（1）∵向量

m

=( 2cos2x ， 

3

 )，

n

=( 1 ， sin2x )，
∴函數(shù)f(x)=

m

•

n

=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1…（3分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；                           …（4分）
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，3]…（7分）
（2）∵f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=3，∴sin（2C+

π

6

）=1 
∵C是三角形內(nèi)角，∴2C+

π

6

=

π

2

，即：C=

π

6

            …（9分）
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

即：a²+b²=7．              …（10分）
∵ab=2

3

，且a＞b，
∴聯(lián)立解得a=2，b=

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．