Question

已知函數(shù)f(x)=

x3

3

-

a+1

2

x2+bx+a，其導函數(shù)f′（x）的圖象經(jīng)過原點．
（1）若存在x₀∈（-∞，0），使曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線的斜率等于-4，求a的取值范圍；
（2）當a＞0時，求f（x）的零點的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由已知f'（0）=0，得出b=0，進而求出函數(shù)f′（x）的表達式．再利用導數(shù)的幾何意義，可得出a=x0+

4

x0

-1，利用基本不等式即可求出a的取值范圍；
（2）利用導函數(shù)=0，列出表格如表，利用極值、單調(diào)性和函數(shù)零點的判斷方法即可判斷出零點的個數(shù)．

解答：解：f'（x）=x²-（a+1）x+b，由f'（0）=0，∴b=0，∴f'（x）=x²-（a+1）x．
（1）當x₀＜0時，f′(x0)=

x

2 0

-(a+1)x0=-4，
∴a=x0+

4

x0

-1=-(-x0+

4

-x0

)-1≤-2

(-x0)× 4 -x0

-1=-5，當且僅當-x0=

4

-x0

，x₀＜0，解得x₀=-2時取等號；
∴a的取值范圍是（-∞，-5]．
（2）f'（x）=x²-（a+1）x．=x[x-（a+1）]，令f^′（x）=0，解得x=0，或a+1，
∵a＞0，∴a+1＞0，列表如下：
∴f（x）在（-∞，0]上遞增，在[0，a+1]上遞減，又在[a+1，+∞）上遞增，
而f(-a-1)=-

5

6

(a+1)3+a=-

5

6

a3-

5

2

a2-

3

2

a-

5

6

＜0，f（0）=a＞0，f(a+1)=a-

1

6

(a+1)3=-

1

6

[a3+3(a-

1

2

)2+

1

4

]＜0f[(a+2)2]=(a+2)4(

1

3

a2+

5

6

a+

5

6

)+a＞0，
又-a-1＜0＜a+1＜（a+2）²，
故f（x）在（-a-1，0），（0，a+1），（a+1，（a+2）²）內(nèi)各有一個零點，所以f（x）共有3個零點．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，正確理解導數(shù)的幾何意義和熟練掌握導數(shù)求出函數(shù)的極值與單調(diào)性及函數(shù)零點的判斷方法是解題的關(guān)鍵．