Question

如圖，已知?jiǎng)又本�l經(jīng)過點(diǎn)P（4，0），交拋物線y²=2ax（a＞0）于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O是PQ的中點(diǎn)，設(shè)直線AQ，BQ的斜率分別為k₁，k₂．
（1）證明：k₁+k₂=0；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，是否存在垂直于x軸的直線l′，被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，請(qǐng)求出直線l′的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線l方程與拋物線方程聯(lián)立可得：y²-2amy-8a=0，表示出直線AQ，BQ的斜率，利用韋達(dá)定理可證；
（2）假設(shè)存在這樣的直線，記作l'：x=t．若要滿足題意，只需r²-d²為常數(shù)即可．
解答：（1）證明：設(shè)直線l方程為x=my+4（m∈R），與拋物線方程聯(lián)立可得：y²-2amy-8a=0，
再設(shè)點(diǎn)，，則y₁•y₂=-8a
所以，故k₁+k₂=0-----（7分）
（2）解：因?yàn)閍=2，所以拋物線的方程為：y²=4x．
記線段AP中點(diǎn)即圓心為，則圓的半徑，
假設(shè)存在這樣的直線，記作l'：x=t．若要滿足題意，只需r²-d²為常數(shù)即可．--------（10分）
故r²-d²=
所以，即t=3時(shí)，能保證為常數(shù)，故存在這樣的直線l'：x=3滿足題意．-----（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查圓中弦長的計(jì)算，屬于中檔題．