Question

已知向量

α

=（3cosα，1），

b

=（-2，3sinα），且

α

⊥

b

，其中α∈（0，

π

2

）
（1）求sinα和cosα的值；
（2）若5sin（α+β）=3

5

cosβ，β∈（0，π），求角β的值．

Answer 1

分析：（1）用向量垂直的充要條件的sinα=2cosα；再用三角函數(shù)的平方關(guān)系求值．
（2）用三角函數(shù)的和角公式展開求得tanβ=-1，進一步求出β．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=-6cosα+3sinα=0，即sinα=2cosα，
又∵sin²α+cos²α=1，∴cos2α=

1

5

，sin2α=

4

5

，∴sin2θ=

4

5

，
又α∈(0，

π

2

)，∴sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

．
（2）∵5sin(α+β)=5(sinαcosβ+cosαsinβ)=2

5

cosβ+

5

sinβ=3

5

cosβ，
∴cosβ=sinβ，即tanβ=1，
∵β∈（0，π），∴β=

π

4

：答sinα和cosα的值為sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

；角β的值為β=

π

4

點評：本題考查向量垂直的充要條件和三角函數(shù)的和角公式．