Question

（2013•昌平區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=sin（π-2x）+2

3

cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求f（

π

6

）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦公式，二倍角公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（2x+

π

3

）+

3

，由此求得f（

π

6

）的值．
（Ⅱ）根據(jù)f（x）的解析式求得它的最小正周期，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=sin（π-2x）+2

3

cos²x=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

，…（4分）
∴f（

π

6

）=2sin

2π

3

+

3

=2×

3

2

+

2

=2

3

…（6分）
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+

π

3

）+

3

，∴它的最小正周期T=

2π

2

=π．…（8分）
又由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．…（13分）

點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函數(shù)的周期性及單調(diào)性，屬于中檔題．