Question

已知橢圓C：．
（1）雙曲線(xiàn)與橢圓C具有相同的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F₂，A、B是橢圓上的點(diǎn)，且，求直線(xiàn)AB的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓方程求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，進(jìn)而可得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，求得雙曲線(xiàn)的長(zhǎng)半軸和短半軸的長(zhǎng)，進(jìn)而可得雙曲線(xiàn)的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），由得出B的坐標(biāo)表示，再由A，B兩點(diǎn)在橢圓上，得出關(guān)于x₁，y₁的方程，解得x₁，y₁最后利用直線(xiàn)的斜率公式即可．
解答：解：（1）由已知，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（1，0），離心率為，
所以所求雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（1，0），離心率為2，…（2分）
雙曲線(xiàn)，解得，
所求雙曲線(xiàn)方程為．…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），由得，…（5分）
由A，B兩點(diǎn)在橢圓上，得，，…（8分）
解得，，…（10分）
所以．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì)和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．要記住雙曲線(xiàn)和橢圓的定義和性質(zhì)，解答直線(xiàn)AB的斜率的關(guān)鍵是利用方程組思想．