Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，其中左焦點F（-2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段的中點M在圓x²+y²=1上，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由題意，得

c a = 2 2 c=2 a2=b2+c2.

由此能夠得到橢圓C的方程．
（2）設(shè)點A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀），由

x2 8 + y2 4 =1 y=x+m.

消y得，3x²+4mx+2m²-8=0，再由根的判斷式結(jié)合題設(shè)條件能夠得到m的值．

解答：解：（1）由題意，得

c a = 2 2 c=2 a2=b2+c2.

解得

a=2 2 b=2.

∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)點A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀），
由

x2 8 + y2 4 =1 y=x+m.

消y得，3x²+4mx+2m²-8=0，
△=96-8m²＞0，∴-2

3

＜m＜2

3

．
∴x0=

x1+x2

2

=-

2m

3

，
y0=x0+m=

m

3

．
∵點M（x₀，y₀）在圓x²+y²=1上，∴(-

2m

3

)2+(

m

3

)2=1，∴m=±

3 5

5

．

點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．