Question

如圖，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動.

（1）證明：D₁E⊥A₁D；

（2）當(dāng)E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；

（3）AE等于何值時，二面角D₁—EC—D的大小為.

　 　　　　　　　　　　

Answer 1

解法（一）（1）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E…………4分

（2）設(shè)點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故……8分

………………10分

（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

  ∴∠DHD₁為二面角D₁—EC—D的平面角.

設(shè)AE=x，則BE=2－x

………………12分

∴AE=時，二面角D₁—EC—D的大小為.………………14分

解法（二）：以D為坐標(biāo)原點，直線DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）………………4分

（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而，

，設(shè)平面ACD₁的法向量為，則

也即，得，從而………………8分

所以點E到平面AD₁C的距離為………………10分

（3）設(shè)平面D₁EC的法向量，∴

由  令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴………………12分

依題意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=時，二面角D₁—EC—D的大小為.………………14分