Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，過F₂作傾斜角為120°的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為M若MF₁垂直于x軸，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)F₁的坐標(biāo)為（-c，h），h＞0，代入橢圓的方程求得 h，Rt△MF₂ F₁中，tan60°=

3

=

h

2c

，
建立關(guān)于a、c的方程，解方程求出

c

a

的值．

解答：解：設(shè)F₁的坐標(biāo)為（-c，h），h＞0，代入橢圓的方程得   

(-c)2

a2

+

h2

b2

=1，∴h=

b2

a

．
由題意知，∠MF₂ F₁=180°-120°=60°，Rt△MF₂ F₁中，tan60°=

3

=

h

2c

=

b2

2ac

=

a2-c2

2ac

，
a2- c2-2

3

ac=0，1-(

c

a

)2-2

3

c

a

=0，解得

c

a

=2-

3

 或

c

a

=-2-

3

（舍去），
綜上，橢圓的離心率為 2-

3

，
故答案為：2-

3

．

點(diǎn)評：本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，橢圓的簡單性質(zhì)，一元二次方程的解法．