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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          1
          4
          x2-
          1
          a
          x+ln(x+a)
          ,其中常數(shù)a>0.
          (I)若f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
          (II)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
          (III)已知0<a<
          1
          2
          ,f′(x)
          表示f(x)的導數(shù),若x1,x2∈(-a,a),x1≠x2,且滿足f'(x1)+f'(x2)=0,試比較f'(x1+x2)與f'(0)的大小,并加以證明.
          分析:(I)求出函數(shù)f(x)的導數(shù),根據(jù)題意得f′(1)=0,解關(guān)于a的方程,可得a=1,最后代入原函數(shù)驗證即可;
          (II)將函數(shù)的導數(shù)f′(x)分解為
          x(ax-(2-a2))
          2a(x+a)
          ,再根據(jù)a與
          2
          的大小關(guān)系,得出函數(shù)零點的不同情況,分a=
          2
          、a>
          2
          a<
          2
          三種情況討論,分別可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
          (III)設(shè)函數(shù)y=g(x)(-a<x<a)的圖象與函數(shù)y=f′(x)(-a<x<a)的圖象關(guān)于原點對稱,利用作差、分解因式的方法得出f′(x)>g(x),然后用單調(diào)性的定義證明f′(x)在(-a,a)上單調(diào)遞減,在這兩點基礎(chǔ)上結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇函數(shù)的性質(zhì),證出f′(x1+x2)<f′(0).
          解答:解:(I)因為f(x)=
          1
          4
          x2-
          1
          a
          x+ln(x+a)
          ,所以f/(x)=
          1
          2
          x-
          1
          a
          +
          1
          x+a

          又因為f(x)在x=1處取得極值,所以f/(1)=
          1
          2
          -
          1
          a
          +
          1
          1+a
          =0
          ,
          因為a為正數(shù),所以解此方程得a=1
          經(jīng)檢驗,當a=1時,在處取得極小值,故a=1
          (II)由(I)知f/(x)=
          1
          2
          x-
          1
          a
          +
          1
          x+a
          =
          x(ax-(2-a2))
          2a(x+a)
            (x>-a,a>0)
          (1)當a=
          2
          時,f/(x)=
          x2
          2(x+a)
          ≥0

          所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-
          2
          ,+∞)

          (2)當a>
          2
          時,由f′(x)>0得-a<x<
          2-a2
          a
          或x>0
          所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-a,
          2-a2
          a
          )
          ,(0,+∞)
          (3)當0<a<
          2
          時,由f′(x)>0得-a<x<0或x>
          2-a2
          a

          所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-a,0)和 (
          2-a2
          a
          ,+∞)

          (III)f′(x1+x2)<f′(0),證明如下
          0<a<
          1
          2
          時,設(shè)函數(shù)y=g(x)(-a<x<a)的圖象與函數(shù)y=f′(x)(-a<x<a)的圖象關(guān)于原點對稱,則
          g(x)=-f/(-x)=
          1
          2
          x+
          1
          a
          +
          1
          x-a

          于是當0<x<a時,f/(x)-g(x)=
          1
          2
          x-
          1
          a
          +
          1
          x+a
          -(-
          1
          2
          x+
          1
          a
          +
          1
          x-a
          )
          =
          2x2
          a(a2-x2
          >0

          即f′(x)>g(x)…(*)
          設(shè)h(x)=f/(x)=
          1
          2
          x-
          1
          a
          +
          1
          x+a
             (-a<x<a)

          h/(x)=
          1
          2
          -
          1
          (x+a)2
          =
          (x+a)2-2
          2(x+a)2

          ∵-a<x<a
          ∴0<x+a<2a
          結(jié)合  0<a<
          1
          2
          ,得(x+a)2<4a2<1

          ∴h′(x)<0可得h(x)在(-a,a)上單調(diào)遞減,即f′(x)在(-a,a)上單調(diào)遞減…(**)
          依題意,不妨設(shè)x1<x2,又因為f′(0)=0,f′(x1)+f′(x2)=0,所以-a<x1<0<x2<a
          ∴0<-x1<a且-a<x1+x2<a
          于是根據(jù)f′(x1)+f′(x2)=0得-g(-x1)+f′(x2)=0
          結(jié)合(*)可得f′(x2)=g(-x1)<f′(-x1
          ∴x2>-x1從而0<x1+x2<a
          結(jié)合(**)可得f′(x1+x2)<f′(0),命題得證.
          點評:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,同時對函數(shù)在某點處極值的存在性加以探討,綜合性強,屬于難題.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (1)、已知函數(shù)f(x)=
          1+
          2
          cos(2x-
          π
          4
          )
          sin(x+
          π
          2
          )
          .若角α在第一象限且cosα=
          3
          5
          ,求f(α)

          (2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
          3
          sinxcosx
          的圖象按向量
          m
          =(
          π
          6
          ,-1)
          平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=(1-
          a
          x
          )ex
          ,若同時滿足條件:
          ①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
          ②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
          則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+lnx
          x

          (1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
          1
          2
          )
          上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
          (2)當x≥1時,不等式f(x)≥
          k
          x+1
          恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+
          1
          x
          ,(x>1)
          x2+1,(-1≤x≤1)
          2x+3,(x<-1)

          (1)求f(
          1
          2
          -1
          )
          與f(f(1))的值;
          (2)若f(a)=
          3
          2
          ,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
          1-m•2x1+m•2x

          (1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
          (2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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