Question

如圖，P△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC中點(diǎn)，N是AB上的點(diǎn)，AN=3NB，
（1）求證：MN⊥AB；
（2）當(dāng)∠PAB=90°，BC=2，AB=4時(shí)，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）取AB中點(diǎn)Q，連接PQ，CQ，根據(jù)線面垂直的判定定理可知PQ⊥平面ABC，從而∠PQC=90°，再根據(jù)M是PC中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的中線定理可知MB=

1

2

PC，則MB=MQ，而N是BQ的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的中線定理可的結(jié)論；
（2）先在直角三角形PAB中求出PB，然后求出MB的長(zhǎng)以及BN的長(zhǎng)，最后在直角三角形MNB中求出MN即可．

解答：解：（1）證明：取AB中點(diǎn)Q，連接PQ，CQ，
因?yàn)镃B⊥平面PAB，則PQ⊥BC，又PA=PB，所以PQ⊥AB，
于是PQ⊥平面ABC，所以∠PQC=90°，
因?yàn)镸是PC中點(diǎn)，所以MQ=

1

2

PC，
又因?yàn)椤螩BP=90°，所以MB=

1

2

PC，所以MB=MQ；
而N是BQ的中點(diǎn)，所以MN⊥AB；
（2）當(dāng)∠PAB=90°，BC=2，AB=4時(shí)，
有PB=2

2

，PC=2

3

，MB=

1

2

PC=

3

，
所以MN=

MB2-BN2

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線線的位置關(guān)系，以及線段的度量，同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算與推理的能力，屬于基礎(chǔ)題．