Question

已知△ABC中，

AB

=

c

，

BC

=

a

、

CA

=

b

，若

a

•

b

=

b

•

c

，且

c

•

b

+

c

2=0，則△ABC的形狀是

等腰直角三角形

．

Answer 1

分析：由

a

•

b

=

b

•

c

，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義可得|

a

|•cosC=|

c

|cosA，再由余弦定理可得a=c，故三角形為等腰三角形．再由

c

•

b

+

c

2=0 可得，

c

⊥

a

，△ABC也是直角三角形，綜合可得結(jié)論．

解答：解：∵△ABC中，

AB

=

c

，

BC

=

a

、

CA

=

b

，又∵

a

•

b

=

b

•

c

，
∴|

a

|•|

b

|•cos（π-C）=|

b

|•|

c

|•cos（π-A），化簡(jiǎn)可得|

a

|•cosC=|

c

|cosA．
設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c，再把余弦定理代入可得a•

a2+b2-c2

2ab

=c•

c2+b2-a2

2bc

．
化簡(jiǎn)可得 a²=c²，a=c，故三角形為等腰三角形．
再由

c

•

b

+

c

2=0 可得

b

•（

c

+

b

）=

c

•（-

a

）=0，∴

c

•

a

=0，∴

c

⊥

a

．
即 B=90°，∴△ABC也是直角三角形．
故答案為 等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，兩個(gè)向量垂直的條件，判斷三角形的形狀的方法，注意兩個(gè)向量的
夾角的值，屬于中檔題．