Question

設函數f（x）=log_b

x2-2x+2

1+2ax

（b＞0，b≠1）
（1）求f（x）的定義域；
（2）b＞1時，求使f（x）＞0的所有x值．

Answer 1

分析：（1）要使f（x）有意義，須滿足

x2-2x+2

1+2ax

＞0，易知x²-2x+2＞0，故只需解1+2ax＞0，按照a＞0，a=0，a＜0三種情況討論可解不等式；
（2）根據對數函數的單調性可把不等式化為一元二次不等式，按對應二次方程的判別式△的符號分情況進行討論，可解不等式，注意要與函數定義域取交集；

解答：解：（1）∵f（x）=log_b

x2-2x+2

1+2ax

，x²-2x+2=（x-1）²+1＞0，
∴1+2ax＞0，
①當a＞0時，2ax＞-1，x＞-

1

2a

，定義域為（-

1

2a

，+∞）；
②當a=0時，1＞0，x∈R，定義域為R；
③當a＜0時，2ax＞-1，x＜-

1

2a

，定義域為（-∞，-

1

2a

）；
（2）f（x）＞0即log_b

x2-2x+2

1+2ax

＞log_b1，
∵b＞1，∴

x2-2x+2

1+2ax

＞1，
∴x²-2x+2＞1+2ax，即x²-（2+2a）x+1＞0，
令△=[-（2+2a）]²-4=4（a²+2a），
①當a＜-2時，△＞0，x²-（2+2a）x+1=0的兩根為x1=1+a-

a2+2a

，x2=1+a+

a2+2a

，
這時x₁＜x₂=1+a+

a2+2a

=

1

1+a- a2+2a

＜0＜-

1

2a

，
∴x＜1+a-

a2+2a

或1+a+

a2+2a

＜x＜-

1

2a

；
②當a=-2時，x＜

1

4

且x≠-1；
③當-2＜a＜0時，△＜0，x＜-

1

2a

；
④當a=0時，x∈R且x≠1；
⑤當a＞0時，△＞0，x₂＞x₁＞0＞-

1

2a

，
∴-

1

2a

＜x＜1+a-

a2+2a

或x＞1+a+

a2+2a

．

點評：本題考查對數函數定義域、對數不等式的求解，考查含參數的一元一次、一元二次不等式的求解，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，運算量較大，綜合性較強．