Question

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=3，則xyz的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：由條件可得xy+yz+xz=-1，利用x+y+z=1，可得xyz=z³-z²-z，利用導(dǎo)數(shù)的方法，可求xyz的最大值．
解答：解：∵x+y+z=1①，x²+y²+z²=3②
∴①²-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z²-z-1
∵x²+y²=3-z²≥2xy=2（z²-z-1）⇒3z²-2z-5≤0⇒-1≤z≤
令f（z）=xyz=z³-z²-z，則f′（z）=3z²-2z-1=（z-1）（3z+1）
令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜，
∴f（z）在區(qū)間[-1，-]單調(diào)遞增，在[-，1]單調(diào)遞減，在[1，]單調(diào)遞增，
當(dāng)z=-時(shí)，xyz的值為，當(dāng)z=時(shí)，xyz的值為，
∴xyz的最大值為．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題考查最值問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化，從而利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解．