Question

（13分）已知拋物線與直線交于A、B兩點，O為坐標原點．

（I）當k=1時，求線段AB的長；

（II）當k在R內(nèi)變化時，求線段AB中點C的軌跡方程；

（III）設(shè)是該拋物線的準線．對于任意實數(shù)k，上是否存在點D，使得？如果存在，求出點D的坐標；如不存在，說明理由． 

 

Answer 1

【答案】

解：設(shè)點、分別為、，由題意得

，

∴，      　　　　　　　　　　　 　　　　　　１分

∴，．　　　　　　　　　　　　　　 　 2分

∴，

．            　　　　　　　　　　　　 　　３分

（Ⅰ）當時，，，，．

∴    　　　　　　　　　　　　　　 4分

．    　　　　　　　　　　　６分

（Ⅱ）設(shè)線段中點的坐標為，則當變化時，

， 　　　　　　　　　　　　　             7分

消去，得．

即點的軌跡方程為．　　　　　　　　　　　　　　　９分

（Ⅲ）拋物線的準線的方程為．　　　　　　　　 10分

假設(shè)在上存在一點，使，則

，．　　　　　　　　　12分

令，

得　　�、�

將，，，代入①式，整理得，即，

∴．

∴對于任意實數(shù)，在上存在點，使得．          13分

【解析】略