Question

【題目】如果函數f（x）=sin（2x+θ），函數f（x）+f'（x）為奇函數，f'（x）是f（x）的導函數，則tanθ= ．

Answer 1

【答案】-2
【解析】解：∵f（x）=sin（2x+θ），∴f′（x）=2cos（2x+θ）， 則f（x）+f'（x）=sin（2x+θ）+2cos（2x+θ），
∵f（x）+f'（x）為奇函數，
∴sin（﹣2x+θ）+2cos（﹣2x+θ）=﹣sin（2x+θ）﹣2cos（2x+θ），
即﹣sin（2x﹣θ）+2cos（2x﹣θ）=﹣sin（2x+θ）+2cos（2x+θ），
則﹣sin2xcosθ+cos2xsinθ+2cos2xcosθ+2sin2xsinθ
=﹣（sin2xcosθ+cos2xsinθ+2cos2xcosθ﹣sin2xsinθ）
=﹣sin2xcosθ﹣cos2xsinθ﹣2cos2xcosθ+2sin2xsinθ，
即2cos2xsinθ=﹣4cos2xcosθ，
即sinθ=﹣2cosθ，
即tanθ=﹣2，
所以答案是：﹣2
【考點精析】通過靈活運用基本求導法則和正弦函數的奇偶性，掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；正弦函數為奇函數即可以解答此題．