Question

（1）已知

2

sin(

π

4

+2x)-2cos2x=0且0≤x≤π，求x的值；
（2）記f（x）=

2

sin(

π

4

+2x)-2cos2x（x∈R），求f（x）的最大值及對(duì)應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（1）把已知等式的左邊第一項(xiàng)利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，再根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，得到tan2x的值，根據(jù)x的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出x的值；
（2）把函數(shù)解析式第一項(xiàng)利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的最大值及取最大值時(shí)x的值．

解答：解：（1）∵

2

sin（

π

4

+2x）-2cos2x=sin2x-cos2x=0⇒tg2x=1，
∴2x=kπ+

π

4

⇒x=

kπ

2

+

π

8

 ， k∈Z，又0≤x≤π，
∴x=

π

8

或x=

5π

8

；
（2）f(x)=sin2x-cos2x=

2

 sin (2x-

π

4

)，
當(dāng)2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3π

8

 ， k∈Z時(shí)，f(x)max=

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域及值域，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．