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        1. 在圖(1)所示的長方形ABCD中,AD=2AB=2,E、F分別為AD、BC的中點(diǎn),M、N兩點(diǎn)分別在AF和CE上運(yùn)動,且AM=EN=a(0<a<
          2
          )
          .把長方形ABCD沿EF折成大小為θ的二面角A-EF-C,如圖(2)所示,其中θ∈(0,
          π
          2
          ]

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          (1)當(dāng)θ=45°時(shí),求三棱柱BCF-ADE的體積;
          (2)求證:不論θ怎么變化,直線MN總與平面BCF平行;
          (3)當(dāng)θ=900a=
          2
          2
          .時(shí),求異面直線MN與AC所成角的余弦值.

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          (1)依題意得EF⊥DE,EF⊥AE,∴EF⊥平面ADE,∠DEA=θ.
          由θ=45°得,S△ADE=
          1
          2
          DE•EAsin45°=
          2
          4
          ,
          VBCF-ADE=S△ADE•EF=
          2
          4

          (2)證法一:過點(diǎn)M作MM1⊥BF交BF于M1,
          過點(diǎn)N作NN1⊥CF交BF于N1,連接M1N1,
          ∵M(jìn)M1AB,NN1EF∴MM1NN1
          又∵
          MM1
          AB
          =
          FM
          FA
          =
          CN
          CE
          =
          NN1
          EF
          ,∴MM1=NN1
          ∴四邊形MNN1M1為平行四邊形,
          ∴MNN1M1,又MN?面BCF,N1M1?面BCF,∴MN面BCF.
          證法二:過點(diǎn)M作MG⊥EF交EF于G,連接NG,則
          CN
          NE
          =
          FM
          MA
          =
          FG
          GE
          ,∴NGCF.
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          又NG?面BCF,CF?面BCF,∴NG面BCF,
          同理可證得MG面BCF,又MG∩NG=G,∴平面MNG平面BCF,
          ∵M(jìn)N?平面MNG,∴MN面BCF.
          (3)證法一:取CF的中點(diǎn)為Q,連接MQ、NQ,則MQAC,
          ∴∠NMQ或其補(bǔ)角為異面直線MN與AC所成的角,
          ∵θ=900a=
          2
          2
          .∴NQ=
          1
          2
          ,MQ=
          (
          1
          2
          )
          2
          +(
          2
          2
          )
          2
          =
          3
          2
          MN=
          2
          2
          ,--
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          --
          cos∠NMQ=
          QM2+MN2-NQ2
          2MN•QM
          =
          6
          3

          即MN與AC所成角的余弦值為
          6
          3

          證法二:∵θ=900a=
          2
          2

          分別以FE、FB、FC所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.A(1,1,0),C(0,0,1),M(
          1
          2
          1
          2
          ,0),N(
          1
          2
          ,0,
          1
          2
          ),得
          AC
          =(-1,-1,1),
          MN
          =(0,-
          1
          2
          ,
          1
          2
          )

          cos<
          AC
          ,
          MN
          >=
          1
          3
          2
          2
          =
          6
          3

          所以與AC所成角的余弦值為
          6
          3
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•揭陽二模)在圖(1)所示的長方形ABCD中,AD=2AB=2,E、F分別為AD、BC的中點(diǎn),M、N兩點(diǎn)分別在AF和CE上運(yùn)動,且AM=EN=a(0<a<
          2
          )
          .把長方形ABCD沿EF折成大小為θ的二面角A-EF-C,如圖(2)所示,其中θ∈(0,
          π
          2
          ]

          (1)當(dāng)θ=45°時(shí),求三棱柱BCF-ADE的體積;
          (2)求證:不論θ怎么變化,直線MN總與平面BCF平行;
          (3)當(dāng)θ=900a=
          2
          2
          .時(shí),求異面直線MN與AC所成角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•日照一模)已知長方形EFCD,|EF|=2,|FC|=
          2
          2
          .以EF的中點(diǎn)O為原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.
          (Ⅰ)求以E,F(xiàn)為焦點(diǎn),且過C,D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (Ⅱ)在(I)的條件下,過點(diǎn)F做直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,設(shè)
          FA
          FB
          ,點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,0),若λ∈[-2,-1],求|
          TA
          +
          TB
          |的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:《立體幾何》2013年廣東省十二大市高三二模數(shù)學(xué)試卷匯編(理科)(解析版) 題型:解答題

          在圖(1)所示的長方形ABCD中,AD=2AB=2,E、F分別為AD、BC的中點(diǎn),M、N兩點(diǎn)分別在AF和CE上運(yùn)動,且AM=EN=a.把長方形ABCD沿EF折成大小為θ的二面角A-EF-C,如圖(2)所示,其中
          (1)當(dāng)θ=45°時(shí),求三棱柱BCF-ADE的體積;
          (2)求證:不論θ怎么變化,直線MN總與平面BCF平行;
          (3)當(dāng)θ=90.時(shí),求異面直線MN與AC所成角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年廣東省揭陽市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          在圖(1)所示的長方形ABCD中,AD=2AB=2,E、F分別為AD、BC的中點(diǎn),M、N兩點(diǎn)分別在AF和CE上運(yùn)動,且AM=EN=a.把長方形ABCD沿EF折成大小為θ的二面角A-EF-C,如圖(2)所示,其中
          (1)當(dāng)θ=45°時(shí),求三棱柱BCF-ADE的體積;
          (2)求證:不論θ怎么變化,直線MN總與平面BCF平行;
          (3)當(dāng)θ=90.時(shí),求異面直線MN與AC所成角的余弦值.

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          同步練習(xí)冊答案