Question

（2013•日照一模）已知長方形EFCD，|EF|=2，|FC|=

2

2

．以EF的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．
（Ⅰ）求以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且過C，D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）在（I）的條件下，過點(diǎn)F做直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)

FA

=λ

FB

，點(diǎn)T坐標(biāo)為（2，0），若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定E，F(xiàn)，C的坐標(biāo)，利用橢圓的定義，求出幾何量，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量知識(shí)，結(jié)合配方法，即可求|

TA

+

TB

|的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得點(diǎn)E，F(xiàn)，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），（1，

2

2

）．
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
則2a=|EC|+|FC|=2

2

＞2，∴a=

2

，
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

2

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由題意容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0，故可設(shè)直線l的方程為x=ky+1，
代入

x2

2

+y2=1中，得（k²+2）y²+2ky-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)關(guān)系，得y₁+y₂=-

2k

k2+2

①，y₁y₂=-

1

k2+2

②，…（7分）
因?yàn)?span id="yhow775" class="MathJye">

FA

=λ

FB

，所以

y1

y2

=λ且λ＜0，所以將上式①的平方除以②，得

y1

y2

+

y2

y1

+2=-

4k2

k2+2

，
即

(y1+y2)2

y1y2

=-

4k2

k2+2

，所以λ+

1

λ

+2=-

4k2

k2+2

，
由λ∈[-2，-1]⇒-

5

2

≤λ+

1

λ

≤-2⇒-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0⇒-

1

2

≤-

4k2

k2+2

≤0⇒k2≤

2

7

，
即0≤k2≤

2

7

．
∵

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=（x₂-2，y₂），
∴

TA

+

TB

=（x₁+x₁-4，y₁+y₂）
又y₁+y₂=-

2k

k2+2

，x1+x2-4=k(y1+y2)-2=-

4(k2+1)

k2+2

．
故|

TA

+

TB

|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=

16(k2+1)2

(k2+2)2

+

4k2

(k2+2)2

=

16(k2+2)2-28(k2+2)+8

(k2+2)2

=16-

28

k2+2

+

8

(k2+2)2

．…（11分）
令t=

1

k2+2

，因?yàn)?span id="cfvpl8b" class="MathJye">0≤k2≤

2

7

，所以

7

16

≤

1

k2+2

≤

1

2

，

7

16

≤t≤

1

2

，|

TA

+

TB

|2=16-28t+8t2=8(t-

7

4

)2-

17

2

，
因?yàn)?span id="2nl8zyb" class="MathJye">

7

16

≤t≤

1

2

，所以|

TA

+

TB

|2∈[4，

169

32

]，|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

]．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考試學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．