Question

已知x1=

1

3

，xn+1=

x

2n

+xn-a．（n∈N^*，a為常數(shù)）
（1）若a=

1

4

，求證：數(shù)列{lg(xn+

1

2

)}是等比數(shù)列；
（2）在（1）條件下，求證：xn≤(

5

6

)n-

1

2

，(n∈N*)．

Answer 1

證明：（1）∵xn+1=

x

2n

+xn-

1

4

，
∴xn+1+

1

2

=xn2+xn+

1

4

=(xn+

1

2

)2，（1分）
∵x1=

1

3

∴xn+

1

2

＞0，則 lg(xn+1+

1

2

)=2lg(xn+

1

2

)，（3分）
∴數(shù)列{lg(xn+

1

2

)}是以lg

5

6

為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，（4分）
（2）由（1）知lg(xn+

1

2

)=(lg

5

6

)•2n-1，化簡(jiǎn)得xn+

1

2

=(

5

6

)2n-1
∵0＜

5

6

＜1，∴要證(

5

6

)n-

1

2

≥xn，只需證2ⁿ≥2n，（8分）
證法一：當(dāng)n=1或2時(shí)，有2ⁿ=n，
當(dāng)n≥3時(shí)，2n=(1+1)n=1+

C

1n

+

C

2n

+…+

C

nn

≥1+n+

n(n-1)

2

≥1+2n＞2n，（10分）
∴2ⁿ≥2n對(duì)n∈N^*都成立，n=1
∴xn≤(

5

6

)n-

1

2

，，(n∈N*)．（12分）
證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明，
①當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；n=k+1，（9分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)結(jié)論成立，即2^k≥2k，
當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+{x_{n+1}}=x_n^2+{x_n}={x_n}（{x_n}+1）1=2•2^k≥2•2k＞2（k+1），

1

xn+1

=

1

xn(xn+1)

=

1

xn

-

1

xn+1

1

xn+1

=

1

xn

-

1

xn+1

，（10分）
∴當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立
綜合①、②知xn≤(

5

6

)n-

1

2

，對(duì)n∈N^*都成立．（12分）