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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知x1=
          1
          3
          xn+1=
          x
          2
          n
          +xn-a
          .(n∈N*,a為常數)
          (1)若a=
          1
          4
          ,求證:數列{lg(xn+
          1
          2
          )}
          是等比數列;
          (2)在(1)條件下,求證:xn≤(
          5
          6
          )n-
          1
          2
          ,,(n∈N*)

          (3)若a=0,試問代數式
          2011
          n=1
          1
          xn+1
          的值在哪兩個相鄰的整數之間?并加以證明.
          分析:(1)利用xn+1=
          x
          2
          n
          +xn-
          1
          4
          ,兩邊同加
          1
          2
          ,再取常用對數,即可證得數列{lg(xn+
          1
          2
          )}
          是以lg
          5
          6
          為首項,以2為公比的等比數列;
          (2)確定數列的通項,問題轉化為(
          5
          6
          )n-
          1
          2
          xn
          ,只需證2n≥2n.證法一:當n=1或2時,有2n=n,當n≥3時,利用二項式定理,進行放縮,即可證得結論;證法二:用數學歸納法證明,關鍵是第二步的證明;
          (3)當a=0時,xn+1=
          x
          2
          n
          +xn=xn(xn+1)
          ,取倒數可得 
          1
          xn+1
          =
          1
          xn
          -
          1
          xn+1
          ,疊加求和,確定3-
          1
          x2012
          的范圍即可.
          解答:證明:(1)∵xn+1=
          x
          2
          n
          +xn-
          1
          4
          ,
          xn+1+
          1
          2
          =xn2+xn+
          1
          4
          =(xn+
          1
          2
          )2
          (1分)
          x1=
          1
          3
          ,∴xn+
          1
          2
          >0
          ,∴lg(xn+1+
          1
          2
          )=2lg(xn+
          1
          2
          )
          (3分)
          ∴數列{lg(xn+
          1
          2
          )}
          是以lg
          5
          6
          為首項,以2為公比的等比數列(4分)
          (2)由(1)知lg(xn+
          1
          2
          )=(lg
          5
          6
          )•2n-1
          ,化簡得xn+
          1
          2
          =(
          5
          6
          )2n-1

          0<
          5
          6
          <1
          ,∴要證(
          5
          6
          )n-
          1
          2
          xn
          ,只需證2n≥2n,(6分)
          證法一:當n=1或2時,有2n=n,當n≥3時,2n=(1+1)n=1+
          C
          1
          n
          +
          C
          2
          n
          +…+
          C
          n
          n
          (7分)≥1+n+
          n(n-1)
          2
          ≥1+2n>2n
          ,(8分)
          ∴2n≥2n對n∈N*都成立,
          xn(
          5
          6
          )
          n
          -
          1
          2
          ,(n∈N*)
          (9分)
          證法二:用數學歸納法證明,
          ①當n=1時,結論顯然成立;(5分)
          ②假設當n=k(k≥1)時結論成立,即2k≥2k,
          當n=k+1時,2k+1=2•2k≥2•2k>2(k+1),(7分)
          ∴當n=k+1時結論也成立
          綜合①、②知xn≤(
          5
          6
          )n-
          1
          2
          ,對n∈N*都成立(9分)
          (3)當a=0時,xn+1=
          x
          2
          n
          +xn=xn(xn+1)

          1
          xn+1
          =
          1
          xn(xn+1)
          =
          1
          xn
          -
          1
          xn+1
          ,即 
          1
          xn+1
          =
          1
          xn
          -
          1
          xn+1
          ,
          2011
          n=1
          1
          xn+1
          =(
          1
          x1
          -
          1
          x2
          )+(
          1
          x2
          -
          1
          x3
          )+…+(
          1
          x2011
          -
          1
          x2012
          )=
          1
          x1
          -
          1
          x2012
          =3-
          1
          x2012
          (11分)
          x1=
          1
          3
          x2=
          1
          3
          ×
          4
          3
          =
          4
          9
          ,x3=
          4
          9
          ×
          13
          9
          =
          52
          81
          ,x4=
          52
          81
          ×
          133
          81
          >1

          xn+1-xn=xn2≥0,∴{xn}單調遞增,
          0<
          1
          x2012
          <1
          ,∴2<3-
          1
          x2012
          <3

          2011
          n=1
          1
          xn+1
          的值在2與3之間(14分)
          點評:本題考查數列遞推式,考查等比數列的證明,考查不等式的證明,考查裂項法求和,利用裂項法求和是關鍵.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知曲線C:xy=1,過C上一點An(xn,yn)作一斜率為kn=-
          1
          xn+2
          的直線交曲線C于另一點An+1(xn+1,yn+1),點列An(n=1,2,3,…)的橫坐標構成數列{xn},其中x1=
          11
          7

          (1)求xn與xn+1的關系式;
          (2)求證:{
          1
          xn-2
          +
          1
          3
          }是等比數列;
          (3)求證:(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+…+(-1)nxn<1(n∈N,n≥1).

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          (2013•西城區(qū)一模)已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…,xn),xiN*,i=1,2,…,n} (n≥2).對于A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)∈Sn,定義
          AB
          =(b1-a1,b2-a2,…,bn-an)
          ;λ(a1,a2,…,an)=(λa1,λa2,…,λan)(λ∈R);A與B之間的距離為d(A,B)=
          n
          i=1
          |ai-bi|

          (Ⅰ)當n=5時,設A=(1,2,1,2,5),B=(2,4,2,1,3),求d(A,B);
          (Ⅱ)證明:若A,B,C∈Sn,且?λ>0,使
          AB
          BC
          ,則d(A,B)+d(B,C)=d(A,C);
          (Ⅲ)記I=(1,1,…,1)∈S20.若A,B∈S20,且d(I,A)=d(I,B)=13,求d(A,B)的最大值.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          (2011•揭陽一模)已知x1=
          1
          3
          ,xn+1=
          x
          2
          n
          +xn-a
          .(n∈N*,a為常數)
          (1)若a=
          1
          4
          ,求證:數列{lg(xn+
          1
          2
          )}
          是等比數列;
          (2)在(1)條件下,求證:xn≤(
          5
          6
          )n-
          1
          2
          ,(n∈N*)

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          科目:高中數學 來源:揭陽一模 題型:解答題

          已知x1=
          1
          3
          ,xn+1=
          x2n
          +xn-a
          .(n∈N*,a為常數)
          (1)若a=
          1
          4
          ,求證:數列{lg(xn+
          1
          2
          )}
          是等比數列;
          (2)在(1)條件下,求證:xn≤(
          5
          6
          )n-
          1
          2
          ,(n∈N*)

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