Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切．
（1）求動(dòng)圓的圓心軌跡C的方程；
（2）是否存在直線l，使l過點(diǎn)（0，1），并與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足

OP

•

OQ

=0？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖，設(shè)M為動(dòng)圓圓心，根據(jù)圓M與直線x=-1相切可得|MF|=|MN|，結(jié)合拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，從而解決問題；
（2）對(duì)“是否存在性”問題，先假設(shè)存在，設(shè)直線l的方程為x=k（y-1）（k≠0），與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合根的判別式求出k的范圍，再利用向量垂直求出k值，看它們之間是否矛盾，沒有矛盾就存在，否則不存在．

解答：解：（1）如圖，設(shè)M為動(dòng)圓圓心，F(xiàn)（1，0），
過點(diǎn)M作直線x=-1的垂線，垂足為N，由題意知：|MF|=|MN|
即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與到定直線x=-1的距離相等，
由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，
其中F（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線，
∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為y²=4x；
（2）由題可設(shè)直線l的方程為x=k（y-1）（k≠0）
由

x=k(y-1) y2=4x

得y²-4ky+4k=0；△=16k²-16k＞0?k＜0ork＞1
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=4k，y₁y₂=4k
由

OP

•

OQ

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0?（k²+1）y₁y₂-k²（y₁+y₂）+k²=0，
解得k=-4或k=0（舍去），
∴直線l存在，其方程為x+4y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查曲線與方程，直線和拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，以及求解存在性問題的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．