Question

已知的三個頂點，，，其外接圓為．

(1)若直線過點，且被截得的弦長為2，求直線的方程；

(2)對于線段上的任意一點，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點，使得點是線段的中點，求的半徑的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）或；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求的外接圓方程可用待定系數(shù)法或利用兩邊垂直平分線的交點先求出圓心，再利用兩點之間距離公式求出半徑，求出圓的方程后再利用待定系數(shù)法求出直線的方程，此時要注意分直線斜率存在和不存在兩種情況討論；（2）可設(shè)出點的坐標(biāo)，再把點的坐標(biāo)用其表示，把點的坐標(biāo)代入圓的方程，利用方程組恒有解去考察半徑的取值范圍，但要注意三點不能重合，即圓和線段無公共點.

試題解析：(1)線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，所以外接圓圓心，半徑，的方程為． 4分

設(shè)圓心到直線的距離為，因為直線被截得的弦長為2，所以．

當(dāng)直線垂直于軸時，顯然符合題意，即為所求； 6分

當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，則，解得，

綜上，直線的方程為或． 8分

(2) 直線的方程為，設(shè)，

因為點是點，的中點，所以，又都在半徑為的上，

所以即 10分

因為該關(guān)于的方程組有解，即以為圓心為半徑的圓與以為圓心為半徑的圓有公共點，所以， 12分

又，所以對]成立．

而在[0，1]上的值域為[，10]，故且． 15分

又線段與圓無公共點，所以對成立，即.故的半徑的取值范圍為． 16分

考點：圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系.