Question

已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且拋物線的焦點(diǎn)滿足，若邊上的中線所在直線的方程為（為常數(shù)且）．

（1）求的值；

（2）為拋物線的頂點(diǎn)，，，的面積分別記為，，，求證：為定值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見(jiàn)試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知，拋物線的焦點(diǎn)滿足，從而知BC邊上的中點(diǎn)符合，因此點(diǎn)在直線上，令，可得拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可求得的值；（2）首先設(shè)出的坐標(biāo)：，由已知，即可得，而，最終即可證得為定值．

試題解析：（1）因?yàn)?/span>拋物線的焦點(diǎn)滿足，取BC邊上的中點(diǎn)，則，故點(diǎn)在直線上，令，得，得拋物線的焦點(diǎn)，于是，． 5分

（2）記，由知：， 7分

且．于是，

．證畢． 13分

考點(diǎn)：1．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2．直線與拋物線的位置關(guān)系；3．解析幾何中定值問(wèn)題的解法．