Question

【題目】(1)求的值；

(2)設(shè)m，n∈N*，n≥m，求證：

Answer 1

【答案】（1）0；（2）見解析

【解析】試題分析：(1)利用組合數(shù)公式計算即可；

(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

試題解析：(1)解　7C－4C＝7×20－4×35＝0.

(2)證明　對任意的m，n∈N*，n≥m，

①當(dāng)n＝m時，左邊＝(m＋1)C＝m＋1，

右邊＝(m＋1)C＝m＋1，原等式成立.

②假設(shè)n＝k(k≥m)時命題成立.

即(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋kC＋(k＋1)C＝(m＋1)C，

當(dāng)n＝k＋1時，

左邊＝(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋kC＋(k＋1)C＋(k＋2)C

＝(m＋1)C＋(k＋2)C，

右邊＝(m＋1)C.

而(m＋1)C－(m＋1)C

＝(m＋1)

＝(m＋1)× [(k＋3)－(k－m＋1)]

＝(k＋2)＝(k＋2)C，

∴(m＋1)C＋(k＋2)C＝(m＋1)C，

∴左邊＝右邊.

即m＝k＋1時命題也成立.

綜合①②可得原命題對任意m，n∈N*，n≥m均成立.