Question

【坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題】直線

x=1+2t y=1-t

與曲線ρ=2cosθ相交，截得的弦長為

2 5

5

．

Answer 1

分析：將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，將直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程，利用直線與圓的位置關(guān)系，構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理，即可求解．

解答：解：∵曲線的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，化為ρ²=2ρcosθ，
則化成直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x=0，即（x-1）²+y²=1，
∴（x-1）²+y²=1表示圓心為（1，0），半徑r=1的圓，
∵直線為

x=1+2t y=1-t

，則直線的一般方程為x+2y-3=0，
∴圓心（1，0）到直線x+2y-3=0的距離d=

|1+2×0-3|

12+22

=

2 5

5

，
設(shè)弦長為l，則根據(jù)勾股定理可得，d²+（

1

2

l）²=r²，
故（

2 5

5

）²+（

1

2

l）²=1，解得l=

2 5

5

，
∴截得的弦長為

2 5

5

．
故答案為：

2 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．考查了直線與圓的位置關(guān)系，求直線被圓所截得的弦長問題，要注意運(yùn)用弦長的一半，半徑，弦心距構(gòu)成的直角三角形求解．屬于基礎(chǔ)題．