Question

（08年成都七中二模理） 已知圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足.

   （1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；

   （2）過(guò)點(diǎn)（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對(duì)角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.

Answer 1

解析：（1）Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN

    GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|                       

    ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，∴短半軸長(zhǎng)b=2，∴點(diǎn)G的軌跡方程是 ……6分

   （2）因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331145527006.gif' width=100>，所以四邊形OASB為平行四邊形

    若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形

    若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由

    矛盾，故l的斜率存在.

    設(shè)l的方程為

   

       ①

   

       ②            

    把①、②代入

    ∴存在直線

使得四邊形OASB的對(duì)角線相等. ……12分