Question

【題目】田忌和齊王賽馬是歷史上有名的故事，設齊王的三匹馬分別為，田忌的三匹馬分別為 .三匹馬各比賽一次，勝兩場者為獲勝.若這六匹馬比賽的優(yōu)劣程度可以用以下不等式表示： .

（1）如果雙方均不知道對方馬的出場順序，求田忌獲勝的概率；

（2）為了得到更大的獲勝概率，田忌預先派出探子到齊王處打探實情，得知齊王第一場必出上等馬，那么，田忌應怎樣安排出馬的順序，才能使自己獲勝的概率最大？最大概率是多少？

Answer 1

【答案】(1) （2）田忌按或的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達到最大

【解析】試題分析：（1）齊王與田忌賽馬，有六種情況，田忌獲勝的只有一種，故田忌獲勝的槪率為.（2）因齊王第一場必出上等馬，若田忌第一場必出上等馬或中等馬，則剩下二場，田忌至少輸一場，這時田忌必敗.為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場應出下等馬，在余下的兩場比賽中，田忌獲勝的概率為（余下兩場是齊王的中馬對田忌上馬和齊王的下馬對田忌的上馬；齊王的中馬對田忌下馬和齊王的下馬對田忌的中馬，前者田忌贏，后者田忌輸）

解析：記與比賽為，其它同理.

（1）齊王與田忌賽馬，有如下六種情況：

； ；

； ；

； ；

其中田忌獲勝的只有一種： .故田忌獲勝的槪率為.

（2）已知齊王第一場必出上等馬，若田忌第一場必出上等馬或中等馬，則剩下二場，田忌至少輸一場，這時田忌必敗.為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場應出下等馬，后兩場有兩種情形：

①若齊王第二場派出中等馬，可能的對陣為： 或.田忌獲勝的概率為，

②若齊王第二場派出下等馬，可能的對陣為： 或.田忌獲勝的概率也為.

所以，田忌按或的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達到最大.