Question

已知，其中是常數(shù)．

（1）若是奇函數(shù)，求的值；

（2）求證：的圖像上不存在兩點(diǎn)A、B，使得直線AB平行于軸．

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2)證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：(1)奇函數(shù)的問(wèn)題，可以根據(jù)奇函數(shù)的定義，利用來(lái)解決，由于本題中有對(duì)數(shù)符號(hào)，有根式，因此根據(jù)求出后，最好能再求出函數(shù)的定義域，驗(yàn)證下它是奇函數(shù)；(2)要證明函數(shù)的圖像上不存在兩點(diǎn)A、B，使得直線AB平行于軸，即方程不可能有兩個(gè)或以上的解，最多只有一個(gè)解，由于表達(dá)式不太簡(jiǎn)便，因此我們可以從簡(jiǎn)單的方面入手試試看，看是不是單調(diào)函數(shù)，本題函數(shù)正好能根據(jù)單調(diào)性的定義證明此函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，故本題結(jié)論得證．

試題解析：（1）解法一：設(shè)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014050304432530358268/SYS201405030444079128338587_DA.files/image009.png">,則：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014050304432530358268/SYS201405030444079128338587_DA.files/image004.png">是奇函數(shù)，所以對(duì)任意，有，    3分

得.                         5分

此時(shí)，，，為奇函數(shù)。                 6分

解法二：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)不是奇函數(shù).    2分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù).                    3分

要使得函數(shù)是奇函數(shù)，則對(duì)成立。               5分

所以                                6分

（2）設(shè)定義域內(nèi)任意，設(shè)

                  9分

當(dāng)時(shí)，總有，

，得；            11分

當(dāng)時(shí)，

，得。

故總有在定義域上單調(diào)遞增                      13分

的圖像上不存在兩點(diǎn)，使得所連的直線與軸平行               14分

考點(diǎn)：(1)函數(shù)的奇偶性；(2)函數(shù)的單調(diào)性與方程的解．