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        1. (2012•鹽城二模)已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率為
          2
          2
          ,且過點(diǎn)P(
          2
          2
          ,
          1
          2
          )
          ,記橢圓的左頂點(diǎn)為A.
          (1)求橢圓的方程;
          (2)設(shè)垂直于y軸的直線l交橢圓于B,C兩點(diǎn),試求△ABC面積的最大值;
          (3)過點(diǎn)A作兩條斜率分別為k1,k2的直線交橢圓于D,E兩點(diǎn),且k1k2=2,求證:直線DE恒過一個(gè)定點(diǎn).
          分析:(1)根據(jù)橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的離心率為
          2
          2
          ,且過點(diǎn)P(
          2
          2
          ,
          1
          2
          ),建立方程,求出幾何量,從而可得橢圓C的方程;
          (2)設(shè)B(m,n),C(-m,n),則S△ABC=
          1
          2
          ×2|m|×|n|=|m|•|n|,利用基本不等式可求△ABC面積的最大值;
          (3)設(shè)AB、AC的方程,代入橢圓方程可求B、C的坐標(biāo),從而可得直線BC的方程,整理并令y=0,即可證得直線BC恒過定點(diǎn).
          解答:(1)解:∵橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率為
          2
          2
          ,且過點(diǎn)P(
          2
          2
          ,
          1
          2
          )
          ,
          c
          a
          =
          2
          2
          ,
          1
          2
          a2
          +
          1
          4
          b2
          =1
          ,解得
          a=1
          b=
          2
          2
          c=
          2
          2
          ,
          所以橢圓C的方程為x2+2y2=1…4分
          (2)解:設(shè)B(m,n),C(-m,n),則S△ABC=
          1
          2
          ×2|m|×|n|=|m|•|n|,…6分
          1=m2+2n2≥2
          2m2n2
          =2
          2
          |m|•|n|,所以|m|•|n|
          2
          4
          ,當(dāng)且僅當(dāng)|m|=
          2
          |n|
          時(shí)取等號(hào)…8分
          從而S△ABC
          2
          4
          ,即△ABC面積的最大值為
          2
          4
          …9分
          (3)證明:因?yàn)锳(-1,0),所以AD:y=k1(x+1),AE:y=k2(x+1),
          y=k1(x+1)
          x2+2y2=1
          ,消去y,得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-1=0,解得x=-1或x=
          1-2k12
          1+2k12
          ,
          D(
          1-2k12
          1+2k12
          ,
          2k1
          1+2k12
          )

          同理E(
          1-2k22
          1+2k22
          ,
          2k2
          1+2k22

          ∵k1k2=2,∴E(
          k12-8
          8+k12
          ,
          4k1
          8+k12
          )
          …12分
          ∴直線DE的方程為y-
          2k1
          1+2k12
          =
          4k1
          8+k12
          -
          2k1
          1+2k12
          k12-8
          8+k12
          -
          1-2k12
          1+2k12
          •(x-
          1-2k12
          1+2k12
          )
          ,
          即y-
          2k1
          1+2k12
          =
          3k1
          2(k12+2)
          •(x-
          1-2k12
          1+2k12
          )
          ,即y=
          3k1
          2(k12+2)
          x+
          5k1
          2(k12+2)
          …14分
          所以2yk12+(3x+5)k1+y=0,
          則由
          y=0
          3x+5=0
          ,得直線DE恒過定點(diǎn)(-
          5
          3
          ,0)
          …16分.
          點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查三角形面積的計(jì)算,考查基本不等式的運(yùn)用,考查直線恒過定點(diǎn),屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2012•鹽城二模)若命題“?x∈R,x2-ax+a≥0”為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
          [0,4]
          [0,4]

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          (2012•鹽城二模)已知集合P={-1,m},Q={x|-1<x<
          34
          }
          ,若P∩Q≠∅,則整數(shù)m=
          0
          0

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•鹽城二模)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且b2=
          1
          2
          ac

          (1)求證:cosB≥
          3
          4
          ;
          (2)若cos(A-C)+cosB=1,求角B的大。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•鹽城二模)已知函數(shù)f1(x)=e|x-2a+1|,f2(x)=e|x-a|+1,x∈R
          (1)若a=2,求f(x)=f1(x)+f2(x)在x∈[2,3]上的最小值;
          (2)若x∈[a,+∞)時(shí),f2(x)≥f1(x),求a的取值范圍;
          (3)求函數(shù)g(x)=
          f1(x)+f2(x)
          2
          -
          |f1(x)-f2(x)|
          2
          在x∈[1,6]上的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•鹽城二模)設(shè)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),且滿足f(x)+xf′(x)>0.則不等式f(
          x+1
          )>
          x-1
          f(
          x2-1
          )
          的解集為
          {x|1≤x<2}
          {x|1≤x<2}

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