Question

【題目】如圖，焦點(diǎn)在x軸的橢圓，離心率e= ，且過點(diǎn)A（﹣2，1），由橢圓上異于點(diǎn)A的P點(diǎn)發(fā)出的光線射到A點(diǎn)處被直線y=1反射后交橢圓于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與P點(diǎn)不重合）．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：直線PQ的斜率為定值；
（3）求△OPQ的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓方程為 ，

∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，1），

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴橢圓方程為

（2）證明：設(shè)直線AP方程為y=k（x+2）+1，則直線AQ的方程為y=﹣k（x+2）+1

由 可得（1+2k2）x2+4k（2k+1）x+8k2+8k﹣4=0，△＞0，

設(shè)P（x1，y1），由A（﹣2，1）可得 ，

∴P（ ， ），

同理可得Q（ ， ），

∴kPQ=﹣1

（3）解：由（2），設(shè)PQ的方程為y=﹣x+m，代入橢圓方程得：3x2﹣4mx+2m2﹣6=0．

令△＞0，得﹣3＜m＜3，

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則 ，

∴

設(shè)原點(diǎn)O到直線的距離為d，則 ，

∴ ，

當(dāng) 時(shí)，△OPQ面積的最大值為

【解析】（1）設(shè)橢圓方程，利用離心率e= ，且過點(diǎn)A（﹣2，1），求出幾何量，即可得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AP方程、直線AQ的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出P，Q的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)PQ的方程為y=﹣x+m，代入橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，再求出原點(diǎn)O到直線的距離，可得△OPQ的面積，利用基本不等式，即可求其最大值．