Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若過點(diǎn)P（0，-2）及F₁的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，算出直線AB方程為y=-2x-2，與橢圓方程消去x得9y²+4y-4=0．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合配方的方法算出|y1-y2|=

4 10

9

，最后根據(jù)三角形面積公式即可算出△ABF₂的面積．

解答：解：由題意，得
∵橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），點(diǎn)P（0，-2）
∴直線PF₁的斜率為k=-2，得直線AB方程為y=-2（x+1），化簡得y=-2x-2
由

y=-2x-2 x2 2 + y2 1 =1

消去x，可得9y²+4y-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=-

4

9

，y₁y₂=-

4

9

因此，可得|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 10

9

∵橢圓的焦距為|F₁F₂|=2
∴△ABF₂的面積為S =

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

4 10

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線PF₁與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF₂的面積．著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)和直線與橢圓位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．