Question

（2013•遼寧一模）在正三棱錐P-ABC中，有一半球，其底面與三棱錐的底面重合，正三棱錐的三個側面都與半球相切，如果半球的半徑等于1，則正三棱錐的體積最小時，正三棱錐的高等于（　�。�

• A．

  2

• B．2

  3

• C．

  6

• D．

  3

Answer 1

分析：畫出圖形，設三棱錐的高 PO=x，底面△ABC的AB邊上的高 CD=y，求出x，y的關系，推出體積的表達式，利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出高的值．

解答： 解：根據(jù)題意，畫出圖形如下，
其中，立體圖形只畫出了半球的底面．
設三棱錐的高 PO=x，
底面△ABC的AB邊上的高 CD=3•OD=3y
在縱切面圖形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，
則

PO

EO

=

PD

OD

，而 PD=

PO2+OD2

，即

1

x

=

x2+y2

y

，整理得 x²y²=x²+y²，
所以 y2=

x2

x2-1

，
而三棱錐P-ABC的體積等于

1

3

×底面△ABC的面積×高PO，即V=

1

3

×

1

2

×AB×CD×PO=

1

3

×

1

2

×2

3

y×3y×x=

3

y²x=

3 x3

x2-1

，
對體積函數(shù)求導，得
V′=

3 x2(x2-3)

(x2-1)2

，令V′=0，解得唯一正解 x=

3

，
由該體積函數(shù)的幾何意義可知 x=

3

為其體積最小值點，
故三棱錐體積最小時V_min=

9

2

，高為

3

．
故選D．

點評：本題考查幾何體的內(nèi)接球的問題，函數(shù)的導數(shù)的應用，考查空間想象能力以及計算能力．