Question

對(duì)于直線L：y=kx+1是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得L與雙曲線C：3x²-y²=1的交點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=ax（a為常數(shù)）對(duì)稱？若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱滿足兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上；兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直列出方程組，將韋達(dá)定理代入得到a，k關(guān)系．判斷出是否存在．

解答：證明：（反證法）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y=ax對(duì)稱，（1分）
設(shè)A（ x₁，y₁），B（ x₂，y₂），（2分）
則

ka=-1…(1) y1+y2=k(x1+x2)+2…(2) y1+y2 2 =a x1+x2 2 …(3)

，（6分）
由

y=kx+1 y2=3x2-1

得（3-k²）x²-2kx-2=0，（4）（8分）
由（2）（3）有a（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）+2，（5）（9分）
由（4）知x₁+x₂=

2k

3-k2

，（10分）
代入（5）整理得ak=3，與（1）矛盾，（12分）
故不存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y=ax對(duì)稱，（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常將它們的方程聯(lián)立，處理兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題常借用兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上；兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直．