Question

我們知道：兩個(gè)互為反函數(shù)的函數(shù)y=2^x與y=log₂x的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x成軸對(duì)稱(chēng)，利這一性質(zhì)，若x₁和x₂分別是2^x+x+a=0和log₂x+x+a=0的兩根，則x₁+x₂的值為直線(xiàn)y=x與直線(xiàn)y=-x-a的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，即x₁+x₂=-a； 由函數(shù)y=x³與函數(shù)互為反函數(shù)，我們可以得出：若方程x³+x-3=0的根為x₁，方程（x-3）³+x=0的根為x₂，則x₁+x₂=________．

Answer 1

3
分析：由已知中，若x₁和x₂分別是2^x+x+a=0和log₂x+x+a=0的兩根，則x₁+x₂的值為直線(xiàn)y=x與直線(xiàn)y=-x-a的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，即x₁+x₂=-a；我們經(jīng)過(guò)類(lèi)比推理可得函數(shù)y=x³與函數(shù)互為反函數(shù)，方程x³+x-3=0的根為x₁，方程（x-3）³+x=0的根為x₂，得到方程x³+x-3=0的根為x₁，方程（x-3）³+x=0的根為x₂，進(jìn)而得到答案．
解答：∵x₁和x₂分別是2^x+x+a=0和log₂x+x+a=0的兩根，
則x₁+x₂的值為直線(xiàn)y=x與直線(xiàn)y=-x-a的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，即x₁+x₂=-a；
由此類(lèi)比推理
∵方程x³+x-3=0的根為x₁，方程（x-3）³+x=0的根為x₂，
∴x₂為的根，
則x₁+x₂的值為直線(xiàn)y=x與直線(xiàn)y=-x+3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍
由于直線(xiàn)y=x與直線(xiàn)y=-x+3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
故x₁+x₂=3
故答案為：3
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類(lèi)比推理，要先找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性（如本題中已知和未知兩個(gè)函數(shù)均互為反函數(shù)），再用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）