Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2+2x，g（x）=lnx．
（Ⅰ）如果函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)在區(qū)間(

1

e

，e)內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)的解析式中含有參數(shù)a，故我們要對a進行分類討論，注意到a出現(xiàn)在二次項系數(shù)的位置，故可以分a＞0，a=0，a＜0三種情況，最后將三種情況得到的結(jié)論綜合即可得到答案．
（2）方程

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)整理為ax²+（1-2a）x-lnx=0構(gòu)造函數(shù)H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），則原方程在區(qū)間(

1

e

，e)內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根即為函數(shù)H（x）在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個零點，根據(jù)函數(shù)零點存在定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=2x在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，符合題意．
當(dāng)a＞0時，y=f（x）的對稱軸方程為x=-

2

a

，
由于y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
所以-

2

a

≤1，解得a≤-2或a＞0，所以a＞0．
當(dāng)a＜0時，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是a≥0．
（Ⅱ）把方程

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)整理為

lnx

x

=ax+2-(2a+1)，
即為方程ax²+（1-2a）x-lnx=0．
設(shè)H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），
原方程在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根，
即為函數(shù)H（x）在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個零點
H′(x)=2ax+(1-2a)-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

令H′（x）=0，因為a＞0，解得x=1或x=-

1

2a

（舍）
當(dāng)x∈（0，1）時，H′（x）＜0，H（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，H′（x）＞0，H（x）是增函數(shù)．
H（x）在（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個不相等的零點，
只需

H( 1 e )＞0 H(x)min＜0 H(e)＞0

即

a e2 + 1-2a e +1= (1-2a)e+a+e2 e2 ＞0 H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0 ae2+(1-2a)e-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0

∴

a＜ e2+e 2e-1 a＞1 a＞ 1-e e2-2e

解得1＜a＜

e2+e

2e-1

，
所以a的取值范圍是（1， 

e2+e

2e-1

）．

點評：遇到類二次方程/函數(shù)/不等式（即解析式的二次項系數(shù)含有參數(shù)）時，一般要進行分類討論，分類的情況一般有：①先討論二次項系數(shù)a是否為0，以確定次數(shù)②再討論二次項系數(shù)a是否大于0，以確定對應(yīng)函數(shù)的開口方向，③再討論△與0的關(guān)系，以確定對應(yīng)方程根的個數(shù)．