Question

（2012•盧灣區(qū)二模）已知集合A={x|x=cos2

(2n-1)π

m

，n∈Z}，當(dāng)m為4022時(shí)，集合A 的元素個(gè)數(shù)為

1006

．

Answer 1

分析：把集合A中的函數(shù)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，根據(jù)n為整數(shù)，2n-1表示奇數(shù)，得到2011中有1006個(gè)奇數(shù)，其余的值經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)都等于1006個(gè)值中的某一值，得到cos

(2n-1)π

2011

的值有1006個(gè)，進(jìn)而得到答案．

解答：解：當(dāng)m為4022時(shí)，A中的元素 x=cos2

(2n-1)π

m

=

1+cos 2(2n-1)π 4022

2

=

1

2

+

1

2

•cos

(2n-1)π

2011

．
而函數(shù)t=cos

(2n-1)π

2011

的值，具有周期性，周期為π．
又n∈Z，2n-1為奇數(shù)，2011中有1006個(gè)奇數(shù)，所以cos

(2n-1)π

2011

有1006個(gè)值，
其余的值經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)都等于1006個(gè)值中的某一值，
則cos

(2n-1)π

2011

就有1006個(gè)值，所以集合A中的元素個(gè)數(shù)為1006．
故答案為：1006．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦函數(shù)的周期性，掌握集合中元素的互異性，屬于中檔題．